内容摘要：为了了解当今小学数学解题策略的发展情况，笔者以泰州市大浦中心小学为对象进行调查研究。通过调查分析，发现该校学生在不同的年级段的解题策略已呈现多样化，解题水平存在着差异，具有一定的代表性。笔者通过问卷调查和与该校学生交谈后，得到几点启示，并对此状况进行了深刻的反思。
关键词：小学数学  教学策略  调查报告

一、问题的提出
问题解决是一个人在社会生活中谋求生存和发展至关重要的能力。人最重要的能力就是问题解决能力，问题解决能力是衡量人的智力发展水平的主要标尺。人们越来越深刻地认识到培养学生成为有效问题解决者在于成功的学校教学改革，诚如加涅所认为的“教育课程的重要的最终目标就是教学生解决问题——数学和物理问题、健康问题、社会问题以及个人适应性问题。”问题解决能力和素质教育内容的各个方面均有联系。
“数学课程目标”把“问题解决”作为课程的目标之一，并明确提出：初步学会从数学角度提出问题，理解问题，并能综合运用所学的知识和技能解决问题，培养应用意识。形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力和创新精神。所以，对于数学来说，问题是数学的心脏。掌握了数学意味着什么呢？就是善于解决问题。解习题是解决问题的一种特殊形式。习题是为学生巩固所学知识而人为编制的。教师应从问题解决的角度对待习题，即引导学生做习题时更多地把精力、时间放在如何解决上，引导学生对问题正确加以“表征”，明晰已知的条件，明确要达到的目标，做到合理的假设，寻求通向目标的可能的途径，确定最优的解题方案，然后加以施行，最后进行检验。那么，面对着一个比较综合、有一定难度的数学问题时，怎样引导学生迅速地找到其突破口，打开学生的解题思路呢？俗话说，妙计可以打胜仗，良策有利于解题。当学生对数学知识、数学思想方法的学习和运用达到一定水平时，就能够把一般的思维升华到计策谋略的境界，即数学解题策略。小学数学解题策略作为学习策略的重要组成部分，它是指在问题的解决过程中，在元认知活动的作用下，调动（或发现）问题解决的方法，有效地组织问题解决的认知操作活动，使认知操作活动真正达到消除问题的“障碍”，实现问题“给定”到“目标”的转化，从而达到问题解决的一种内部心理机制。
在小学数学教学中，许多教师都会感到，小学生解决一个数学问题常常有自己的解题策略。对于不同年龄的学生来说，有不同的解题策略。对于同一年龄段的学生来说，他们的解题策略既有共性又有个性，但当小学生解决一个数学问题时，他们到底会用怎样的解题方法和解题策略呢？采用不同的解题方法和解题策略的人有多少呢？他们普遍运用的是什么解题策略呢？我们在教学中应当采用怎样的教学策略使学生有一个更合理的解题方法与解题策略呢？对于这些疑问，作为一名小学数学教师有时并不一定十分清楚。为此，笔者给出一道有余数的除法，让泰州市大浦中心小学的三年级、四年级、五年级的学生做。通过不同年龄段的学生解题，笔者试图从中发现学生对于问题的思考方法与他们对问题所采取的解题策略，并分析他们的心理特征，使教师在以后的数学教学中，有针对性地加强学生数学解题策略问题的指导，优化学生的思维品质，提高其解题能力。
二、课题研究的策略
（一）注意提升学生的学习需求，鼓励学生不断地挑战自己
一般来说，学生在数运算学习一开始的算法往往都是比较单一的，他们不仅会满足于自己已有的一种方法，而且也会急于表现自己。所以教师要注意引导学生不满足于已有的一种方法，鼓励他们要想办法思考第二种甚至第三种方法。也就是说，方法多样不是依靠大家“凑”出来的，而是对每个学生要有从不同角度思考多种方法的要求。正是因为有了这样针对性的要求，学生才有可能克服思维惰性挑战自己。因此，随着教学过程的不断向前推进，教师要不断向学生提出更高的要求，这样学生的学习需求才有可能不断地得到提升。一般来说，向学生提出的要求应体现以下的特点：一是针对性，即教师应十分注意解读和分析学生在课堂的即时状态，适时地针对学生的表现提出相应的要求。二是递进性，即前一个要求是后一个要求的基础，后一个要求是前一个要求基础上发展。三是有弹性，即教师应注意根据不同“类”学生的已有基础状态提出各自不同的“类”要求。例如，对已有一般方法的学生提出的要求是，还有没有更好的方法；对已有简便算法的学生提出的问题是，这种算法与其他方法有什么差异，与哪些方法是一类的？通过这些问题的思考，帮助这些学生达到比较和区分不同方法的要求。
（二）注意启发学生类比思考，帮助学生感悟“类方法”的存在
 由于学生对思考多种方法的不同角度缺乏认识，大多数学生会表现出对算法多样的点状思考和盲目追求，所以教师要注意引导学生学会类比思考，使学生对算法思考过程中何谓相同角度、何谓不同角度要有感受和体验。这样，就有可能在学生个体身上实现从“一”到“多”的追求，这也正是在学生个体身上实现算法真正多样的“化”的过程。
（三）注意“并联”随机呈现资源，提供每个学生参与的时间和机会
考虑到课堂教学中教师和学生双边共时的关系，在学生思考教师提出的各种问题的同时，教师要尽可能捕捉学生各种不同的信息和资源，并注意用“并联”和随机的方式同时呈现在黑板上。之所以要强调“并联”，是为了改变原来“串联”方式中把大量教学时间用来进行个别学生交流的现象，在时间上为形成生生和师生之间的互动提供前提性保证，使每个学生能够有机会参与到学习中去。之所以强调随机，是为了改变原来教师替代学生整理各种资源的现象，在内容上为形成生生和师生之间的互动提供前提性的保证，使学生能够有机会对这些排列随机的丰富资源加以充分利用，以提升学生资源处理的分析和比较、概括和抽象的水平。
（四）注意引导学生比较分类，提升学生结构思维的认识水平
 面对黑板上“并联”呈现、排列随机的各种算法，我们既不是让学生喜欢什么方法就有什么方法，也不是引导学生去追求最优的方法。换句话说，学生对算法的学习既不是从“一”到“一”的过程，也不是从“多”到“一”的过程，而是从“一”到“多”、从“多”到“类”不断提升的过程。具体地说，就是要注意引导学生对这些算法进行比较和分类，通过对不同算法之间本质联系的揭示，将散点的多种方法经过提炼抽象，归纳为几种基本的“类方法”。在这个过程中，学生的思维就有可能从具象逐步向抽象提升，他们对各种方法的认识也有可能从散点的“多”种方法逐步向结构的“类”方法提升。
（五）注意创设各种问题情境，帮助学生建立判断与选择的意识
数运算教学对于学生成长和发展的价值，不仅仅是学生对算法技能的掌握，更重要的是要以数运算教学为载体，帮助学生建立判断与选择的自觉意识，养成根据具体情境以及自我需要作出正确选择的学习习惯。这对学生日后的主动学习是十分重要的第一步。不仅如此，形成根据具体情境作出准确判断与恰当选择的意识与能力，在一定意义上也是学生适应当今急剧变化的社会环境，能够可持续发展的一种基本且又十分必要的生存能力。因此，教师不但要注意提供学生判断与选择的机会，而且要使学生意识到判断与选择的重要，从而使学生逐渐建立起判断与选择的自觉意识：一是学会根据自己的状况作出判断与选择；二是学会根据具体情境需要。
三、研究方法和过程
本课题研究运用了文献法、调查法、访谈法和经验总结法等多种方法。
（一）测试的问题
问题来自浙江版义务教育六年制小学数学课本第五册第12页思考题中的第2个问题。笔者之所以选择浙江版小学数学教材，出于两方面考虑：1.浙江版小学数学教材比较贴近苏教版小学数学教材；2.考虑到学生大多数没有机会接触浙江版教材，没有做过这道题，保证了问卷的可信度。题目如下：河岸边种着许多柳树和桃树，第一棵种的是柳树，每两棵柳树之间又都种了3棵桃树。从头数起，第29棵是什么树？（请尽可能详细地写出解题过程）如果你认为这个题目已完成，请选择：1.这个题目：①很有趣 ②比较有趣 ③没有趣 2.这个题目：①很难 ②比较难 ③不难
（二）测试对象
按照现行的苏教版小学数学教材，三年级以上的学生都已学过了有余数的除法，知道有余数除法的计算方法。因此，笔者把测试的对象选为泰州市大浦中心小学，该校是一所历史悠久、知名度很高的小学，学生的学习成绩普遍很好。实验共涉及三个班，三年级、四年级、五年级各一班，他们的年龄分别为9、10、11岁，人数分别是48、50、52。
（三）测试和访谈过程
学生在解题过程中，没有任何的交流和对比，整个测试过程基本反应学生独立地在自然条件下解答这一道有余数的除法。测试时，如果学生自认为已完成解答过程，就将测试卷交给老师。测试后，笔者对学生的解题策略进行了初步的整理和分析。
四、调查结果及其分析
（一）三年级、四年级各有半数以上的学生能正确解决这道题，五年级解答这道题的正确率达到70%以上。
笔者对学生的解题试卷进行批改和统计后，发现三年级、四年级、五年级学生能正确解答的人数和比例是：三年级人数有26人，占54.2%；四年级人数有28人，占58%；五年级人数有38人，占73%。其中一部分学生不能正确地解答这道题，三年级、四年级、五年级学生在计算时找错周期的人数的比例各是14人，占29%；14人，占28%；8人，占15.3%。
（二）三年级、四年级、五年级学生的解题策略已呈现多样性，解题水平存在着差异
通过对三年级、四年级、五年级学生的测试卷分析，发现学生的解题策略是多样的。在解决以上测试题时，主要有以下几种策略：
1.“抽象”型。直接利用余数除法的算式进行解答，很准确地找出这道题的柳树与桃树栽种的周期。1棵柳树和3棵桃树是一个周期，总数是29棵，4棵为一个周期，用算式表示是：29÷4=7（周）……1（棵），余数是1棵，表示这29棵树里有7个周期还多1棵树，而这棵树是一个周期中的第1棵树，也就是柳树。这种解题策略，在被试的学生中，三年级学生4人，占8.3%；四年级学生9人，占18%；五年级学生6人，占11.5%；
2.“半抽象半具体”型。利用画图与算式相结合进行解题。通过画图找出这道题的周期，再用除法算式表示第29棵树是柳树。这种解题策略，在被试的学生中，三年级学生3人，占6%；四年级学生5人，占10%；五年级学生1人，占1.9%；
3.“具体”型。利用直观的图画法，将29棵树都画出来。画图有三种：第1种是用长短线来表示两种不同的树。|…|…|…|…|…|…|…|   第2种是将柳树和桃树直接画出来。第3种是用图形表示，△和○分别代表柳树和桃树。△○○○△○○○△○○○△○○○△○○○△○○○△○○○△
利用上述三种画图的方法作为解题策略的三年级学生有8人，占16.6%；四年级学生有7人，占14%；五年级学生有20人，占38.5%；
4.“数数”型。在试卷上写着表明自己是一棵一棵数过来，数出第29棵是柳树。三年级学生没有用这种方法作为解题策略；四年级学生有6人，占12%；五年级有1位学生是用这种一棵一棵数过来的方法进行解答的，占1.9%；
5.“混乱”型。在这次的测试试验中，发现有些学生解题策略表达得不清楚，但答案是正确的。三年级有11人，占22.9%；四年级学生有2人，占4%；五年级学生有10人，占19.2%；
从以上的几种解题策略中，可以看出，小学生解题时呈现出他们的认知规律：以具体形象思维为主的，借助于具体形象的事物，作为自己的解题思路。
（三）题目的有趣性、难度和答题的正确率之间有着比较密切的关系
对于小学三年级、四年级、五年级的学生来说，他们对这道题的有趣程度、难度的认定各有不同。
四年级学生认为这道题的有趣程度超过了五年级学生，而认为这道题没有趣的程度超过了五年级学生。在对四年级个别学生的访谈中，发现学生认为有趣的主要原因是这道题的第29棵数到底是柳树还是桃树。有一个学生说：“我学过奥数，这道题可以考考我们的智力。”联系表3与表4可以看出，48%的四年级学生认为这个题目有趣，36%的学生觉得题目比较难或很难。由此可见，这道题适合四年级学生进行学习，因而有58%的学生运用了不同的解题策略进行解答。
在对五年级学生测试时，学生显示出了很大的兴趣。当全班学生测试完这道题时，有几个学生兴致很高地拿起讲台上的粉笔，在黑板上进行验证，积极讨论着正确答案。但数学能力较强的学生表现得不是很感兴趣。问及数学能力较高的学生“为什么你觉得这道题没有趣？”学生答道：“题目太容易了。”对小学生来说，一个题目的有趣程度与这个题的难度，与题目的挑战性程度有很大的关系。当题目有一定难度时，学生觉得比较有趣，从这个意义上讲，这部分学生更愿意“爬坡”，而不愿意“走平路”。当然，并不是题目越难，学生越有兴趣。
对于三个年级段学生来说，只有10%左右的学生认为题目很难，将近50%的学生认为题目不难。在三年级中有48.2%的学生认为这道题不难，但正确率只有54.2%；四年级学生有64%认为这道题不难，但是正确率只有58%。从这里可以看出，这个年龄段的学生在解答题目时尚处于“不知天高地厚”的阶段。
五、启示与反思 
在这次调查研究中，笔者得到了几点启示。此外，还对小学生数学解题策略进行了深刻地反思，总结如下：
（一）启示
1．小学生解决数学问题的策略具有多样性。无论是解题方法、解题策略还是表现形式都有很大的差异。小学生解题时呈现出他们的认知规律是以具体形象为主的，借助具体形象的事物，作为自己的解题思路。在课程改革中，我们倡导算法多样化，鼓励学生用不同方法解决问题，可能这种方法对成人来说有优劣之分，但是对小学生来说则不宜过早断定这种方法一定比那种方法好。《数学课程标准》在第一学段中指出：“能灵活运用不同方法解决生活中的简单问题，并能对结果的合理性进行判断，在第二学段里还有一部分没有这种思想，这一点应引起我们教师的反思。要加强培养学生学会有思考、有观点，学会从不同的角度去判断优劣，这是一个非常重要的思想，是数学优化思想的体现。当然我们反对的是统一的、标准的优化，反对影响学生积极探索的优化。
2．在平时教学中要重视学生解决问题的方法与策略的培养。要承认学生之间存在着差异，尊重学生的个性，促使每个学生在原有的基础上得到不同的发展。小学生解决数学问题的策略具有多样性，教师在教学中应以《数学课程标准》为指导，提倡解决问题的多样化，使每位学生在原有的基础上得到不同的发展。小学生解决数学问题时，要鼓励学生用自己喜欢的方法，尊重学生的个性，承认学生的差异，肯定学生的每一种解题表达形式。
3．在教学中要适度引入开放题，对培养学生学习数学与解决数学问题的兴趣有一定的帮助，要重视培养学生估算、猜测的意识和能力，培养学生有序的、有条理的考虑问题和解决问题的能力。
（二）反思
1．在研究中，不难看出为什么部分学生不能正确解答这道并不是很难的题目。从上述的分析看，四年级与五年级学生有45.8%和27%的学生不能正确地解答这道题，分析他们的试卷可以看出，他们对这道题作了画图与计算，而导致出错的主要原因是学生找错了这一排树的周期，如有些学生把5棵树作为一个周期，还有的学生把3棵树作为一个周期。
2．从上面的结论来看，四年级学生解答这道题的正确率比三年级要低3.8%，而五年级学生解题的正确率比三年级高15%，为什么三年级学生的解题正确率会比四年级学生高呢？
3．为什么学生在选择解题策略时，运用方法最多的是“具体型”呢？三年级有14%的学生，四年级有16.6%的学生，而五年级却有38.5%的学生。是不是学生的思维水平随着年龄的增加反而越来越具体化呢？笔者认为，产生这种现象可能与这部分学生的短时记忆有关，也可能与学生对这一数学模型掌握的牢固程度有关。
六、进一步讨论的问题
1．学生的数学素质是通过“问题”以及“解决”过程中发展起来的，平时我们怎样结合现实生活来设计“问题解决”，让学生获得知识、方法，思想上的全面发展，让学生变得越来越聪明。
2．在有限的课堂教学时间内，要让学生经历解决问题后，归纳解决问题的策略，作为教师应如何引导。
3．数学教师在今后的教学中将准备怎样组织教学呢？培养学生的哪些能力？这些数学能力与我们平时教学有什么联系呢？

参考文献：
1.吕志明，《小学生数学策略学习研究》，科学出版社，2004年7月版。
2.杜晓新，《元认知与学习策略》，人民教育出版社，1999年版。
3.李光树，《数学学习策略的学习》，《小学数学教育》，2001年第十二期。
4.赵立成，顾高期，《小学数学“问题解决”策略》，《小学数学教育》，1996年第1~2期