小学数学应用题分类解题－韩信点兵问题

汉朝大将韩信善于用兵。据说韩信每当部队集合，他只要求部下士兵作1~3、1~5、1~7报数后，报告一下特各次的余数，便可知道出操公倍数和缺额。
      这个问题及其解法，大世界数学史上颇负盛名，中外数学家都称之为“孙子定理”或“中国剩余定理”。
      这类问题的解题依据是：
      1、 如果被除数增加(或减少)除数的若干倍，除数不变，那么余数不变。例如：
      20÷3=6……2
      (20-3×5)÷3=21……2
      (20+3×15)÷3=1……2
      2、 如果被除数扩大(缩小)若干倍，除数不变，那么余数也扩大(缩小)同样的倍数。例如：
      20÷9=2……2
      (20×3)÷9=6……6
      (20÷2)÷9=1……1
      例1、 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2。求适合这些条件的最小的数。
      1、 求出能被5和7整除，而被3除余1的数，并把这个数乘以2。
      70×2=140
      2、 求出能被3和7整除，而被5除余1的数，并把这个数乘以3。
      21×3=63
      3、 求出能被5和3整除，而被7除余1的数，并把这个数乘以2。
      15×2=30
      4、 求得上面三个数的和
      140+63+30=233
      5、 求3、57的最小公倍数
      ［3、5、7］=105
      6、 如果和大于最小公倍数，要从和里减去最小公倍数的若干倍
      233–105×2=23
      例2、 一个数除以3余2，除以5余2，除以7余4，求适合这些条件的最小的数。
      解法一：
      70×2+21×2+15×4=242
      ［3、5、7］=105
      242–105×2=32
      解法二、
      35+21×2+15×4=137
      ［3、5、7］=105
      137–105=32
      例3、 一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求适合这些条件的最小的数。
      1、 因为［6、7］=42，而42÷5余2，根据第二个依据，42×4÷5应余8(2×4)，实际余3，所以取42×4=168
      2、 因为［7、5］=35，而35÷6余5，则取35×2=70
      3、 ［5、6］=30,30÷7余2，则取30×4=120
      4、 ［5、6、7、］=210
      5、 168+70+120–210=148
      例4、
      我国古代算书上有一道韩信点兵的算题：卫兵一队列成五行纵队，末行一人；列成六行纵队末行五人；列成七行纵队，末行四人；列成十一行纵队，末行十人。求兵数。
      1、［6、7、11］=462
      462÷5余2
      462×3÷5余1
      取462×3=1386
      2、［7、11、5］=385
      385÷6余5
      385×5÷6余5
      取385×5=1925
      3、［11、5、6］=330
      330÷7余1
      220×4÷7余4
      取330×4=1320
      4、［5、6、7］=210
      210÷11余1
      210×10÷11余10
      取210×10=2100
      5、求四个数的和
      1386+1925+1320+2100=6731
      6、［5、6、7、11］=2310
      7、6731–2310×2=2111