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关于庞加莱
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“秩数”概念的许多问题仍然尚未得到解答，更深入地
钻研他的论文也许会导出新的结果．
5．代数学．庞加莱从未出于代数学本身的需要而去研究代数学，只是当在算术或分
析问题中需要代数结果时才去研究它．例如，他关于型的算术理论的工作使他研究次数
≥3的型，其上作用着连续自同构群．与此有关，他注意到超复系和由超复系的可逆元素
乘法定义的连续群之间的关系；他在1884年就这个问题所发表的短文后来引起E．施图迪
(Study)和E．嘉当(Cartan)关于超复系的文章．庞加莱在1903年关于线性微分方程的代
数积分的文章又回到交换代数的研究上来．他的方法使他引进一个方程的群代数，并把
它分解为C上的单代数(即方阵代数)．他首次把左理想和右理想的概念引入代数，并证明
方阵代数中的任何左理想是极小左理想的直和．
庞加莱是当时能够理解并欣赏S．李(Lie)及其后继者关于“连续群”工作的少数数
学家之一，尤其是，他是早在20世纪初就能认识到嘉当论文的深度和广度的唯一数学家
．1899年，庞加莱对于用新方法证明李的第三基本定理以及现在所谓的坎贝尔(Campbeel
)-豪斯多夫(Hausdorff)公式感兴趣；他实际上第一次定义了现在所说的(复数域上的)李
代数的“包络代数”，并由李代数已给的基对包络代数的“自然的”基加以描述，这个
定理在近代李代数理论中成为基本的定理．
6．微分方程．微分方程及其在动力学上的应用显然处于庞加莱数学思想的中心地位
，他从各种可能的角度研究这个问题，他把分析中的全套工具应用到微分方程理论中．
几乎每年都要就此发表论文．事实上，整个自守函数理论一开始就是由求积具有代数系
数的线性微分方程的思想引起的．他同时研究了一个线性微分方程在一个“非正则”奇
点的邻域中的局部问题，首次证明了怎样得到积分渐进展开．他还研究了如何决定(复数
域中)所有一阶微分方程关于y和y′是代数的且有固点的奇点，这后来被皮卡推广到二阶
方程，并在20世纪初期导致P．潘勒韦(Painlevé)及其学派的成果．
庞加莱在这个领域中的最杰出贡献是微分方程定性理论，它是在其创造者手中立即
臻于完善的．他发现在分析微分方程可能解的类型时，奇点起着关键性的作用．他把奇
点分为四类——焦点、鞍点、结点和中心，并阐述了解在这些点附近的性态．在1885年
后，他关于微分方程的论文大都涉及到天体力学，特别是三体问题．
对于物理学问题的持久兴趣肯定把庞加莱引向数学物理学的偏微分方程所导出的数
学问题，在这方面他从未忽略他所用的方法和他所得到的结果可能存在的物理意义．他
在1890年的一篇文章中讨论了狄利克雷(Dirichlet)问题，发明了“扫散方法”，这种极
其富于独创性的方法在20世纪20年代和30年代出现的位势理论上起着重要作用．
此外，庞加莱还在非欧几何、渐近级数、概率论(例如，他最先使用了“遍历性”的
概念，这成为统计力学的基础)等数学分支中也有所建树．庞加莱在物理学、天体力学、
科学哲学方面的工作请见《世界著名科学家传记·物理学家Ⅰ》．——编者注.
1911年，庞加莱觉得身体不适、精力减退，他预感到自己活在世上的日子不会很长
了．可是，他不愿放下手头的工作去休息，他头脑蕴育的新思想太多了，他不愿让它们
和自己一起埋葬．在索尔维会议之后，他投身于量子论的研究，并撰写论文，发表讲演
．同时，他还在思考一个新的数学定理，即把狭义三体问题的周期解的存在问题归结为
平面的连续变换在某些条件下不动点的存在问题．
临终前三周，庞加莱抱病在法国道德教育联盟成立大会上发表了最后一次公开讲演
．他说：“人生就是持续的斗争”，“如果我们偶尔享受到相对的宁静，那正是因为我
们先辈顽强斗争的结果．假使我们的精力、我们的警惕松懈片刻，我们就会失去先辈们
为我们赢得的斗争成果．”庞加莱本人的一生就是持续斗争、永远进击的一生．
1912年7月17日，庞加莱因血管栓塞突然去世．当时他正处在科学创造的高峰时期．
V．沃尔泰拉(Volterra)中肯地评论道：“我们确信，庞加莱一生中没有片刻的休息．他
永远是一位朝气蓬勃的、健全的战士，直至他的逝世．”上一页 [1] [2] [3]
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来源：中国哲士网
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