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关于庞加莱
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>的n阶线性方程的积分．这样，整个这类线性微分方程都可以用庞加莱的这些新的超越函
数来解了．
自守函数理论只是庞加莱对于解析函数论的许多贡献之一，他的每项贡献都是拓广
的理论的出发点．他在 1883年的一篇短文中首先研究整函数的格与其泰勒展开的系数或
者函数的绝对值的增长率之间的关系，它与皮卡(E．Picard)定理结合在一起，通过J．
阿达玛(Hadamard)和 E．波莱尔(Borel)的结果，导致了整函数和亚纯函数的庞大理论，
这个理论在80年之后仍然尚未研究完．
自守函数提供了具有某种奇点的解析函数的头一批例子，它们的奇点构成非稠密的
完备集或奇点的曲线．庞加莱给出另外一个一般方法构成这种类似的函数，即通过有理
函数的级数，这导致后来被波莱尔和A．当儒瓦(Denjoy)所提出的单演函数理论．代数曲
线的参考化定理也是自守函数论的一个结果，它促使庞加莱在1883年导出一般的“单值
化定理”，这等价于存在由任意连通、非紧致黎曼面到复平面或开圆盘的共形映射．
尤其是，庞加莱是多复变解析函数的创始人，这理论在他之前实际并不存在．他得
到的第一个结果是这样的定理：两个复变量的亚纯函数F是两个整函数的商．在1898年，
他针对“多重调和函数”对于任意多复变函数进行了深入的研究，并在阿贝尔函数论中
加以应用．他还在1907年指出了全新的问题，导出两个复变函数的“共形映射”概念的
推广，这就是现在众所周知的、给人以深刻印象的解析流形的萌芽．庞加莱也对多复变
函数的重积分的 “残数”概念给出满意的推广，这是在其他数学家早期对这个问题作了
多次尝试而揭示出严重困难之后进行的．多年后，他的思想在J．勒雷(Leray)的工作中
产生了完满的结果．
2．代数拓扑学(组合拓扑学)．庞加莱最先系统而普遍地探讨了几何学图形的组合理
论，人们公认他是代数拓扑学的奠基人．可以毫不夸张地说，庞加莱在这个课题上的贡
献比在其他任何数学分支上的贡献都更为使他永垂不朽．
庞加莱先在1892年和1893年的科学院《通报》(Comptes Re－ndus)中发表了一些短
文，然后于1895年发表了一篇基本性的论文，接着是一直到1904年在几种期刊上发表的
五篇长的补充，这都是论述近代代数拓扑学的方法的．庞加莱认为，他在代数拓扑学方
面的工作与其说是拓扑不变性的一种研究，不如说是研究n维几何的一种系统方法．我们
现在称之为单形的同调论的一整套方法完全是庞加莱的发明创造：其中有流形的三角剖
分、单纯复合形、重心重分、对偶复合形、复合形的关联系数矩阵等概念以及从该矩阵
计算贝蒂(E．Betti)数的方法．籍助这些方法，庞加莱发现欧拉多面体定理的推广(现在
称之为欧拉-庞加莱公式)以及关于流形的同调的著名的对偶定理；稍后他引进了挠率的
概念．在这些论文中，他还定义了基本群(第一个同伦群)并证明它与一维贝蒂数的关系
，给出两个流形具有相同的同调但具有不同的基本群的例子，他还把贝蒂数和微分形式
的积分联系在一起，叙述了G．德拉姆(de Rham)直到1931年才证明了的定理．有人这样
正确地说过：直到1933年发现高阶同伦群之前，代数拓扑学的发展完全基于庞加莱的思
想和方法．
此外，庞加莱还指出如何把这些新工具用于那些促使发现它们的问题．在两篇论文
中，他定出了复代数曲面的贝蒂数，以及形如Z2=F(x，y)(F是多项式)的方程定义的曲面
的基本群，从而为后来S．莱夫谢茨(Lefschetz)和W．V．D．霍奇(Hodge)的推广铺平了
道路．
3．阿贝尔函数和代数几何学．当庞加莱一接触到G．F．B．黎曼(Riemann)和K．魏
尔斯特拉斯(Weierstrass)关于阿贝尔函数和代数几何学的工作之后，他立即对这个领域
发生了浓厚的兴趣．他在这个课题上论文的篇幅在他的全集里和自守函数的论文篇幅差
不多，时间是从1881年到1911年．这些文章的主要思想之一是关于阿贝尔函数的“约化
”．庞加莱把J．雅可比、魏尔斯特拉斯和皮卡研究过的特殊情形加以推广，证明了一般
的“完全可约性定理”．并注意到对应于可约的簇的阿贝尔函数，这是推广某些已有结
果和研究某些函数特殊性质的出发点．
庞加莱在代数几何学方面的最突出贡献是他在1910年至1911年间关于代数曲面F(x，
y，z)=0中所包含的代数曲线的几篇论文．他所运用的卓有成效的方法使他证明了皮卡和
F．塞韦里(Severi)的深刻结果，并首次正确地证明了由G．卡斯特尔诺沃(Castelnuovo)
、F．恩里格斯(Enriques)所陈述的著名定理．在其他问题上，他的方法也极有价值，看
来它的有效性还远远没有穷尽．
4．数论．在这个领域，庞加莱首次给出整系数型的亏格的一般定义．他的最后一篇
数论论文(1901年)最有影响，是我们现在所谓的“有理数域上的代数几何学”的头一篇
论文．这篇论文的主题是个丢番图(Diophantus)问题，即求一条曲线f(x，y)=0上具有有
理数坐标的点，其中f的系数是有理数．庞加莱定义了曲线的“秩数”，并猜想秩数是有
限的．这个基本事实由L．J．莫德尔(Mardell)在1922年予以证明，并由A．韦伊(Weil)
推广到任意亏格的曲线(1929年)．他们用的是“无限下降法”，这基于椭圆(或阿贝尔)
函数的半分性质；庞加莱在他的文章中发展了一种与椭圆函数的三分性质有关的类似的
计算，这些思想似乎是莫德尔证明的出发点．莫德尔-韦依定理在丢番图方程论中已成为
基本的定理，但是与庞加莱引入上一页 [1] [2] [3] 下一页
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来源：中国哲士网
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