晚年的时候，罗巴切夫斯基的身体垮下来了，并且由于眼睛巩膜病变，导致双目失明。尽管成了瞎眼老人，但仍不放弃把自己毕生的智慧和思想留传给后世，他以口授方式，分别用俄、法两国文字写成《泛几何学》一书。1855年，喀山大学举行50周年校庆时，为了表示敬意，罗巴切夫斯基前往参加典礼并送给母校一本《泛几何学》，几个月后，也即1856年2月24日，罗巴切夫斯基离开了人世，享年64岁。非欧向里得几何学的刨立欧几里得是初等几何的创立者，在相当长的时期里，他的名字一直是初级中学几何的代名词。他最伟大的数学著作是《几何原本》，书中，他总结了前人的几何学知识的研究成果，并加以系统化，他还把人们公认的一些事实归纳为定义和公理，并使用逻辑推理的方法，给以演绎的证明。其中最著名的有平行公设，即：已知任意的直线L和一个不在直线上的点P，那么在L和P决定的平面上，有而且仅有一条过P点的直线L’，使得无论L和L’延长到多远，它们永远也不会相交。欧几里得用这些定义和公理来研究几何图形的性质，就形成了不朽的欧几里得几何学。
遗憾的是，构成整个欧几里得几何学基础的平行公设却从未得到任何数学上的证明，也不能从书中运用其他的公设推导出来，它只是个纯粹的“假设”。欧几里得本人也清楚地知道这一点，并且在生前也曾公开承认过这一点。但是，平行公设由于符合人类的直观想象，所以在长期被人们使用之后，便逐渐地被人们接受并视为“公认的真理”，2000多年来，一直都没有人对它提出过异议。
科学要发展，必须不断地革新，在科学事业的发展进程中，总会有奋不顾身的强者出现在地平线上，罗巴切夫斯基便是其中之一。罗巴切夫斯基是一个有严格要求的人，他认为数学，尤其是几何学都是以概念作为根据的，所以所有的概念都应当非常清晰，叙述时要准确、严格。当他清楚地看到“任何人也没有对平行公设做出严格的证明，所以已作出的那些只可以叫做说明，在完整的意义上说尚不能称之为数学证明”，而当这个平行公设在整个几何学说中又占有如此重要的地位时，他就再也无法满足于用这个平行公设来作为几何学的基础了。
罗巴切夫斯基从1816年开始着手平行公设的证明，后来果然发现了其中不完善的地方。这就是欧几里得平行公设是在平面的基础上得到的，只适用于平面几何，它对于曲面则无法适用。罗巴切夫斯基看到了这一点，并且认为曲面几何在几何学中也占有重要的地位。1823年完成的《几何学》，是他关于新思想的第一部著作。在书中，他摆脱了欧几里得的传统，放弃了欧几里得平行公设，开始采用新的平行公设作为几何学的基础：“通过直线L外一点P，在L和P决定的平面上，至少可作两条直线与L不相交，而不是欧几里得说的只有一条不相交直线。”这个假设被称为罗巴切夫斯基平行公设，这里所提到的L和P决定的平面，不是传统意义上的欧几里得平面，而是罗巴切夫斯基平面，严格说来，它实际上是一个“双叶双曲面”。
曲面上得到的罗巴切夫斯基平行公设显然不同于传统的欧几里得平面上得到的平行公设，这个不同就在于它们是在不同的情况下得出的，欧几里得平行公设是建立在扁平的平面上，而罗巴切夫斯基的平行公设则是建立在弯曲的曲面上。罗巴切夫斯基的平行公设很难在人们的头脑中想象出来，为此，德国数学家克莱因后来用射影的方法对罗巴切夫斯基平面和它的平行公设做了直观的解释。他认为，整个罗巴切夫斯基平面可以射影到欧几里得平面上，这时它是一个圆的内部，并且罗巴切夫斯基平面上的已知直线是圆的弦，已知点是圆的点，过该点且与已知直线相交于圆周上的弦是已知直线的平行线，与已知直线不相交的弦是它的不相交直线，这样一来，我们就不难理解，为什么罗巴切夫斯基断言过直线外一点至少可以作两条直线与已知直线不相交了！
1826年2月23日，34岁的罗巴切夫斯基在喀山大学宣读了他的论文《几何原理和平行理论的严格证明简述》，提出了他的平行公设的要点，阐明了他所发明的“虚几何学”的原理，由此建立起与欧几里得几何完全不同的几何学，为数学树立了人类思想的一个里程碑，这一天被后人公认为非欧几里得几何学诞生的日子。
罗巴切夫斯基勇敢地指出了欧几里得平行公设的缺点，建立了自己的平行公设，并且提出了大胆的设想：“欧几里得几何并不是惟一可想象出的几何。”之后他又在《喀山大学学报》等刊物上发表论文，进一步对自己的新几何学进行了全面的、系统的叙述，先后得出了其他一系列前后一贯的命题。例如：由直线外的任何点向这条直线作垂线，垂线与平行于这条直线并通过已知点的直线组成的角不等于直角，且小于直角，这样的角叫做平行角，点离已知直线越远，平行角则偏离直角越大；三角形内角和小于两直角，并且当三角形面积越大时，内角和偏离两直角就越大；相似三角形不可能存在，对应角相等的三角形只能是全等三角形，等等。这一系列命题与我们所熟悉的欧几里得几何存在着本质上的差异，正是它们构成了罗巴切夫斯基新的几何学，这是第一种非欧几里得几何学。它是几何学中的一个重要分支，它的创立，打破了2000多年来欧几里得几何一统天下的局面，从根本上革新和拓宽了人们对几何学观念的认识，它首先提出了弯曲的空间，为更广泛的黎曼几何的产生创造了前提，为几何学乃至整个
