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罗巴切夫斯基与非欧几何

  1893年,在喀山大学树立起了世界上第一个为数学家雕塑的塑像。这位数学家就是俄国的伟大学者、非欧几何的重要创始人——罗巴切夫期基。

    非欧几何是人类认识史上一个富有创造性的伟大成果,它的创立,不仅带来了近百年来数学的巨大进步,而且对现代物理学、天文学以及人类时空观念的变革都产生了深远的影响。

    不过,这一重要的数学发现在罗巴切夫斯基提出后相当长的一段时间内,不但没能赢得社会的承认和赞美,反而遭到种种歪曲、非难和攻击,使非欧几何这一新理论迟迟得不到学术界的公认。

    罗巴切夫斯基是在尝试解决欧氏第五公设问题的过程中,从失败走上他的发现之路的。欧氏第五公设问题是数学史上最古老的著名难题之一,它是由古希腊学者最先提出来的。

    公元前三世纪,希腊亚历山大里亚学派的创始者欧几里得集前人几何研究之大成,编写了数学发展史上具有极其深远影响的数学巨著《几何原本》。

    这部著作的重要意义在于,它是用公理法建立科学理论体系的最早典范。在这部著作中,欧几里得为推演出几何学的所有命题,一开头就给出了五个公理(适用于所有科学)和五个公设(只应用于几何学),作为逻辑推演的前提。《几何原本》的注释者和评述者们对五个公理和前四个公设都是很满意,唯独对第五个公设(即平行公理)提出了质疑。

    第五公设是论及平行线的,它说的是:如果一直线和两直线相交,且所构成的两个同侧内角之和小于两直角,那么,把这两直线延长,它们一定在那两内角的一侧相交。数学家们并不怀疑这个命题的真实性,而是认为它无论在语句的长度,还是在内容上都不大像是个公设,而倒像是个可以证明的定理,只是由于欧几里得没能找到它的证明,才不得不把它放在公设之列。

    为了给出第五公设的证明,完成欧几里得没能完成的工作,自公元前3世纪起到19世纪初,数学家们投入了无穷无尽的精力,他们几乎尝试了各种可能的方法,但都遭到了失败。

    罗巴切夫斯基是从1815年着手研究平行线理论的。开始他也是循着前人的思路,试图给出第五公设的证明。在保存下来的他的学生听课笔记中,就记有他在1816~1817学年度在几何教学中给出的一些证明。可是,很快他便意识到自己的证明是错误的。

    前人和自己的失败从反面启迪了他,使他大胆思索问题的相反提法:可能根本就不存在第五公设的证明。于是,他便调转思路,着手寻求第五公设不可证的解答。这是一个全新的,也是与传统思路完全相反的探索途径。罗巴切夫斯基正是沿着这个途径,在试证第五公设不可证的过程中发现了一个崭新的几何世界。

    那么,罗巴切夫斯基是怎样证得第五公设不可证的呢?又是怎样从中发现新几何世界的呢?原来他创造性地运用了处理复杂数学问题常用的一种逻辑方法——反证法。

    这种反证法的基本思想是,为证“第五公设不可证”,首先对第五公设加以否定,然后用这个否定命题和其它公理公设组成新的公理系统,并由此展开逻辑推演。

    首先假设第五公设是可证的,即第五公设可由其它公理公设推演出来。那么,在新公理系统的推演过程中一定会出现逻辑矛盾,至少第五公设和它的否定命题就是一对逻辑矛盾;反之,如果推演不出矛盾,就反驳了“第五公设可证”这一假设,从而也就间接证得“第五公设不可证”。

    依照这个逻辑思路,罗巴切夫斯基对第五公设的等价命题——普列菲尔公理“过平面上直线外一点,只能引一条直线与已知直线不相交”作以否定,得到否定命题“过平面上直线外一点,至少可引两条直线与已知直线不相交”,并用这个否定命题和其它公理公设组成新的公理系统展开逻辑推演。

    在推演过程中,他得到一连串古怪、非常不合乎常理的命题。但是,经过仔细审查,却没有发现它们之间存在任何罗辑矛盾。于是,远见卓识的罗巴切夫斯基大胆断言,这个“在结果中并不存在任何矛盾”的新公理系统可构成一种新的几何,它的罗辑完整性和严密性可以和欧几里得几何相媲美。而这个无矛盾的新几何的存在,就是对第五公设可证性的反驳,也就是对第五公设不可证性的逻辑证明。由于尚未找到新几何在现实界的原型和类比物,罗巴切夫斯基慎重地把这个新几何称之为“想象几何”。

在冷漠中宣告新几何诞生

    1826年2月23日,罗巴切夫斯基于喀山大学物理数学系学术会议上,宣读了他的第一篇关于非欧几何的论文:《几何学原理及平行线定理严格证明的摘要》。这篇首创性论文的问世,标志着非欧几何的诞生。然而,这一重大成果刚一公诸于世,就遭到正统数学家的冷漠和反对。

    参加2月23日学术公议的全是数学造诣较深的专家,其中有著名的数学家、天文学家西蒙诺夫,有后来成为科学院院士的古普费尔,以及后来在数学界颇有声望的博拉斯曼。在这些人的心目中,罗巴切夫斯基是一位很有才华的青年数学家。

    可是,出乎他们的意料,这位年轻的教授在简短的开场白之后,接着说的全是一些令人莫明其妙的话,诸如三角形的内角和小于两直角,而且随着边长增大而无限变小,直至趋于零;锐角一边的垂线可以和另一边不相交,等等。

    这些命题不仅离奇古怪,与欧几里得几何相冲突,而且还与人们的日常经验相背离。然而,报告者却认真地、充满信心地指出,它们属于一种

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来源:中国哲士网

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