本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分．考试时间120分钟．
参考公式：
假如事件A、B互斥，那么
P(A＋B)=P(A)＋P(B)
假如事件A、B相互独立，那么
P(A·B)=P(A)·P(B)
假如事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
正棱锥、圆锥的侧面积公式S锥体侧S锥体侧= 
球的体积公式 球 
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合 
A． 
2．若函数 
A. 
3．O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足 
A．外心 B．垂心 C．内心 D．重心
4．在坐标平面上，不等式组 
A． 
5．全国十运会期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若天天排早、中、晚三班，每班4人，每人天天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为 ( )
A. 
6．对于不重合的两个平面 
①存在平面 
②存在平面
③存在直线 
④存在异面直线l、m，使得 
其中，可以判定α与β平行的条件有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7.已知首项为正数的等差数列｛an｝满足:a2005 a2006>0,a2005·a2006<0,则使前项Sn>0成立的最大自然数n是 ( )
A. 4009 B
8. 函数 
A B C D
9. 在正方体ABCD－A1B
A．一条线段 B．椭圆的一部分 C．抛物线的一部分 D．双曲线的一部分．
10.已知F1、F2是双曲线 
A． 
11.已知函数 
A. 
12. 如图，B地在A地的正东方向
地在B地的北偏东30°方向
的没岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离
比到B的距离远
选一处M建一座码头，向B、C两地转运
货物.经测算，从M到B、M到C修建公
路的费用分别是a万元/km、
那么修建这两条公路的总费用最低是（ ）
A．(2 
－2)a万元 B．
C．(2 1) a万元 D．(2 
3) a万元
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题4个小题，每小题4分，共16分．
13．已知函数f(x)=Acos2(ωx 
14. 设点P是曲线y=x3－ 
15. 已知 
16.若函数 
给出下列四个函数：① 
其中具有性质M的函数是 （注：把满足题意的所有函数的序号都填上）
17．如图,在杨辉三角中,斜线l上方,从1开始箭头所示的数组成一个锯齿数列:1,3,3,4,6,5,10,…,记其前n项和为Sn,则S19等于____________.
1
1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
… … … … … … …
18. 已知f（x y）=f(x)·f(y)对任意的实数x、y都成立,且f(1)=2,则 eq \f(f(1),f(0)) eq \f(f(2),f(1)) eq \f(f(3),f(2)) … eq \f(f(2005),f(2004)) eq \f(f(2006),f(2005))= ___________________.
三、解答题：本大题6小题，共74分，解答应写出必要的文字说明．推理过程或计算步骤.
19．（本题满分12分）
已知向量 
(Ⅰ)求 
20．（本小题满分12分）
甲、乙两人在一场五局三胜制的象棋比赛中，规定甲或乙无论谁先赢满三局就获胜，并且比赛就此结束.现已知甲、乙两人每比赛一局甲取胜的概率是 
(Ⅰ)比赛以甲3胜1而结束的概率；
(Ⅱ)比赛以乙3胜2而结束的概率；
(Ⅲ)设甲获胜的概率为a，乙获胜的概率为b，求a：b的值.
21．（本题满分14分）
如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，
AB= 
(Ⅰ)求证：AM∥平面BDE；
(Ⅱ) 求二面角A－DF－B的大小.
（Ⅲ）试问：在线段AC上是否存在一点P，使得直线PF与AD所成角为60°？
22.（本题满分14分）已知=（c,0）(c>0), =(n,n)(n∈R), ||的最小值为1,若动点P同时满足下列三个条件:
①|| = eq \f(c,a) ||(a>c>0);
② = 
③动点P的轨迹C经过点B(0,－1) .
(Ⅰ)求c的值;
(Ⅱ)求曲线C的方程;
(Ⅲ)是否存在方向向量为a=(1,k)(k≠0)的直线l,使l与曲线C交于两个不同的点M、N,且||=||?若存在,求出k的范围;若不存在,请说明理由.
23．（本题满分14分）
|
（Ⅰ）试求数列｛ 
（Ⅱ）求证： 
（Ⅲ）求证： 
参考答案及评分标准
一、选择题
1．C 易知A=｛-1，0，1｝，B=｛1，2｝，故A∩B=｛1｝.
2．D 分x<1与2≤x<5讨论.
3．D = λ( )= 2λ(其中D为BC的中点),于是有=2λ,从而点A、D、P共线，即点P的轨迹通过三角形ABC的重心.
4．B 作出不等式表示的平面区域即可.
5．A 先从14人中选出12人,再将12人进行分组,且每组4人.
6．B 由线面位置关系不难知道:①③正确的.
7．B [解析]由题意知:等差数列中,从第1项到第2005项是正数,且从第2006项开始为负数,S4010=2005(a1 a4010)=2005(a2005 a2006)>0,
S4011= eq \f(4011(a1 a4011),2)=
另解:由题意可得:等差数列中,从第1项到第2005项是正数,且从第2006项开始是负数,则所有的正项的和为Sn的最大值,即当n=2005时,取得最大值,显然Sn是关于n的缺常数项的二次函数,且开口向下,所以第2005项离对称轴最近,故其对称轴介于2005到2005.5之间,又因为二次函数的图象与x轴的一个交点是(0,0),则设另一个交点(x,0),x应介于4010到4011之间.所以使Sn>0的最大自然数是4010,故选B.
本小题结论可以推广成一般结论:等差数列中,a1>0,ak ak 1>0,且akak 1<0,则使前n项和Sn>0的最大自然数n是2k..
8．B 原函数的图象是由y= eq \f(1,x)图象向下移动一个单位,且在(－∞,0),(0,＋∞)上为减函数,所以其反函数的图象是由y= eq \f(1,x)的图象向左移动一个单位,且在定义域上为减函数.
9．B 易知面BCC1B1内的点到点F的距离是到BC的距离倍的 eq \f(1,2)，由椭圆的第二定义即知.
10．D 设 M F eq \a(1)双曲线的交点为P，焦点F eq \a(1)（－c,0）, F2(c,0),由平面几何知识知：F2P⊥F eq \a(1)M，又|F eq \a(1) F2|=
故
11．C 特值法：令a=2与 eq \f(2,3)可知
12．B 依题意知PMQ曲线是以A、B为焦点、实轴长为2的双曲线的一支（以B为焦点），此双曲线的离心率为2，以直线AB为轴、AB的中点为原点建立平面直角坐标系，则该双曲线的方程为 x2－ eq \f(y2,3)＝1，点C的坐标为（3， eq \r(3)）.则修建这条公路的总费用ω=a[|MB| 2|MC|]=
二、填空题
13.200 易知A=2 ,ω= eq \f(π,2),
f(1) f(2) f(3) … f(100)=2×100=200.
14. 
又∵ 0≤α≤∏ ∴0≤α< 
15. 
16.①、③ 可通过作差比较得到结论.
17. 283 [解析] 由条件知道:该数列的奇数项分别为1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,…,偶数项分别为3,4,5,6,7,8,9,10,11,…,把奇数项的前10项与偶数项的前9项相加即得S19=283.
18. 4012 [解析]∵f(1 0)=f(1)·f(0),2=
∵f(2)=f(1 1)=f(1)·f(1)=22,
f(3)=f(2 1)=f(2)·f(1)=23,
依此类推:f(2005)=22005,f(2006)=22006,
∴原式= 
三、解答题
19．解：(Ⅰ) 
∵θ∈［π，2π］，∴ 
(Ⅱ) 由已知 
又 
∵θ∈［π，2π］∴ 
20．解: (Ⅰ) 比赛以甲3胜1而结束,则第四局一定甲胜，前三局中甲胜两局, 1分
∴所求概率为: 
答：比赛以甲3胜1而结束的概率为 
(Ⅱ) 比赛以乙3胜2而结束，则第五局一定乙胜，前四局中乙胜两局， 5分
∴所求概率为: 
答：比赛以乙3胜2而结束的概率为 
(Ⅲ)甲先胜3局的情况有3种:3胜无败,3胜1败,3胜2败.，则其概率分别为 9分
于是甲获胜的概率 
∴乙获胜的概率 
21．方法一
解: (Ⅰ)记AC与BD的交点为O,连接OE, 1分
∵O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形，
∴四边形AOEM是平行四边形， 2分
∴AM∥OE. 3分
∵ 
∴AM∥平面BDE. 4分
(Ⅱ)在平面AFD中过A作AS⊥DF于S，连结BS，
∵AB⊥AF， AB⊥AD， 
∴AB⊥平面ADF， 5分
∴AS是BS在平面ADF上的射影，
由三垂线定理得BS⊥DF.
∴∠BSA是二面角A—DF—B的平面角。 7分
在RtΔASB中， 
∴ 
∴二面角A—DF—B的大小为60º. 9分
（Ⅲ）设CP=t（0≤t≤2）,作PQ⊥AB于Q，则PQ∥AD，
∵PQ⊥AB，PQ⊥AF， 
∴PQ⊥平面ABF，QF
∴PQ⊥QF. 11分
在RtΔPQF中，∠FPQ=60º，PF=2PQ.
∵ΔPAQ为等腰直角三角形，
∴ 
又∵ΔPAF为直角三角形，
∴ 
∴ 
所以t=1或t=3(舍去)
即点P是AC的中点. 14分
方法二（ 仿上给分）
（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系。
设 
则点N、E的坐标分别是（ 
∴NE=( 
又点A、M的坐标分别是
（ 
∴ AM=（
∴NE=AM且NE与AM不共线，
∴NE∥AM.
又∵ 
∴AM∥平面BDF.
（Ⅱ）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF 
∴AB⊥平面ADF.
∴ 
∵NE·DB=（ 
∴NE·NF=（ 
NE⊥DB，NE⊥NF，
∴NE为平面BDF的法向量。
∴cos<AB,NE>= 
∴AB与NE的夹角是60º.
即所求二面角A—DF—B的大小是60º.
（Ⅲ）设P(t,t,0)(0≤t≤ 
∴DA=（0，
又∵PF和AD所成的角是60º.
∴ 
解得 
即点P是AC的中点.
22．解:(Ⅰ)法一: ||= eq \r((n－c)2 n2)= eq \r(2(n－ eq \f(c,2))2 eq \f(c2,2)) ,
当n= eq \f(c,2)时, ||min= eq \r( eq \f(c2,2))=1,所以c= eq \r(2). 3分
法二:设G(x,y),则G在直线y=x上,所以||的最小值为点F到直线y=x的距离,即
eq \f(|c－0|, eq \r(2))=1,得c= eq \r(2).
(Ⅱ)∵=
∴点P在以F为焦点,x= eq \f(a2,c)为准线的椭圆上. 5分
设P(x,y), 则有 eq \r((x－ eq \r(2))2 y2) = eq \f( eq \r(2),a) | eq \f(a2, eq \r(2))－x|, 点B(0－1)代入, 解得a= eq \r(3).
∴曲线C的方程为 eq \f(x2,3) y2=1 7分
(Ⅲ)假设存在方向向量为a0=(1,k)(k≠0)的直线l满足条件,则可设l:y=kx m(k≠0),
与椭圆 eq \f(x2,3) y2=1联立,消去y得(1 3k2)x2 6kmx
由判别式△>0,可得m2<3k2 1. ①
设M(x1,y1),N(x2,y2), MN的中点P(x0,y0),由|BM|=|BN|, 则有BP⊥MN.
由韦达定理代入kBP=－ eq \f(1,k),可得到m= eq \f(1 3k2,2) ②
联立①②,可得到 k2－1<0, 12分
∵k≠0, ∴ －1<k<0或0<k1.
即存在k∈(－1,0)∪(0,1),使l与曲线C交于两个不同的点M、N,且||=||. 14分
23．解: (Ⅰ) 
切线方程为 
当n=1时,切线过点(1,0),即 
当n>1时,切线过点 
故所求通项 
(Ⅱ) 由（1）知
(Ⅲ)设 
两式相减得 
