分析：
　　1、已知：关于的方程的判别式等于0，且是方程的根，则的值为________.
　　[分析]：依题意可列出方程组
　　　　　　
　　　　　　通过观察发现，方程中有两个整体，一个是，另一个是，
　　　　　　故应该用换元的思想来解.给方程(2)两边都乘以4，可得
　　　　　　(1)+(3)，得
　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　将代入方程(1)，不难求出，所以.

　　2、如果关于x的方程kx² -2x-1=0有两个实数根，那么k的取值范围是( )
　　A. 　　　B. 　　　C.　　　 D.
　　【分析】解决此类和方程的根有关的题目，首先要判断方程的类型，题目中“两个实根”的含义是方程为一元二次方程，因此对应的条件是“”；其次一元二次方程有实根的条件是“”，故此题应选A.
　　变式：若关于x的方程 kx² -2x-1=0有实数根，那么k的取值范围是什么？()

　　3、已知：关于x的一元二次方程，求证：此方程有两个不相等的实数根.
　　方法一、
　　　　　　∴此方程有两个不相等的实数根
　　方法二、方程可化为
　　　　　　∴
　　　　　　∵
　　　　　　∴此方程有两个不相等的实数根.

　　4、___时，关于的一元二次方程的两个实根一个大于3，另一个小于3.
　　【分析】令，则方程的两个实根即为抛物线与轴的两个交点的横坐标.因此题目转化为抛物线与轴的两个交点分别在(3，0)点的两侧.画出的图象，可得当.即，解得.
　　　　　　　　　　　　　　

　　5、已知：关于x的一元二次方程.
　　(1)求证：方程有两个实数根；
　　(2)设m＜0，且方程的两个实数根分别为(其中)，若y是关于m的函数，且，求
　 　　这个函数的解析式；
　　(3)在(2)的条件下，利用函数图象求关于m的方程的解.
　　解：(1)证明：∵ 是关于x的一元二次方程，
　　　　　　　　
　　　　　　　　 ∵ m²≥0，
　　　　　　　　 ∴ 原方程有两个实数根.
　　　　(2)解：由求根公式，得
　　　　　　　
　　　　　　　 ∴ x=m+1或.
　　　　　　　 ∵ m＜0， ∴ m+1＜1.
　　　　　　　 ∵ ， ∴ x₁=m+1， x₂=1.
　　　　　　　 ∴ . 即(m＜0)为所求.
　　　　(3)解法一：如图1，在同一平面直角坐标系中分别画出(m＜0)与y=-m+3(m＜0)的图象.
　　　　　　　 　　由图象可得当m＜0时，方程的解为m=-1.
　　　　　 解法二：如图2，在同一平面直角坐标系中分别画出(m＜0)与y=m-3(m＜0)的图象.
　　　　　　　 　　由图象可得当m＜0时，方程的解为m=-1.
　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　图1 　　　　　　　　　　　　　　　 图2

　　6、已知关于x的方程 ，其中a、b为实数.
　　(1)若此方程有一个根为2a(a＜0)，判断a与b的大小关系并说明理由；
　　(2)若对于任何实数a，此方程都有实数根，求b的取值范围.
　　解：(1)∵ 方程 有一个根为2a，
　　　　　 ∴ . 整理，得 .
　　　　　 ∵ ， ∴ ，即.
　　　　(2).
　　　　　 ∵ 对于任何实数此方程都有实数根，
　　　　　 ∴ 对于任何实数都有≥0 ，即≥0.
　　　　　 ∴ 对于任何实数都有b≤.
　　　　　 ∵ ，
　　　　　 当 时，有最小值.∴ b的取值范围是b≤.

　　7、已知：关于x的一元一次方程kx=x+2 ①的根为正实数，二次函数y=ax²-bx+kc(c≠0)的图象与x轴一个交点的横坐标为1.
　　(1)若方程①的根为正整数，求整数k的值；
　　(2)求代数式的值；
　　(3)求证： 关于x的一元二次方程ax²-bx+c=0 ②必有两个不相等的实数根.
　　(1)解：由 kx=x+2，得(k-1)x=2.
　　　　　 依题意 k-1≠0. ∴ .
　　　　　 ∵ 方程的根为正整数，k为整数，
　　　　　 ∴ k-1=1或k-1=2. ∴ k₁=2， k₂=3.
　　(2)解：依题意，二次函数y=ax²-bx+kc的图象经过点(1，0)，
　　　　　 ∴ 0=a-b+kc， kc=b-a .
　　　　　 ∴
　　　　　 　　　　　　　　=
　　(3)证明：方程②的判别式为 Δ=(-b)²-4ac=b²-4ac.
　　　　　 　由a≠0， c≠0， 得ac≠0.
　　　　　 　(i) 若ac＜0， 则-4ac＞0. 故Δ=b²-4ac＞0. 此时方程②有两个不相等的实数根.
　　　　　 　(ii) 证法一： 若ac＞0， 由(2)知a-b+kc=0， 故 b=a+kc.
　　　　　 　　　　　　　　Δ=b²-4ac=(a+kc)²-4ac=a²+2kac+(kc)²-4ac=a²-2kac+(kc)²+4kac-4ac
　　　　　 　　　　　　　　　=(a-kc)²+4ac(k-1).
　　　　　 　　　　　　　　∵ 方程kx=x+2的根为正实数，
　　　　　 　　　　　　　　∴ 方程(k-1)x=2的根为正实数.
　　　　　 　　　　　　　　由 x＞0， 2＞0， 得 k-1＞0. ∴ 4ac(k-1)＞0.
　　　　　 　　　　　　　　∵ (a-kc)²≥0，
　　　　　 　　　　　　　　∴Δ=(a-kc)²+4ac(k-1)＞0. 此时方程②有两个不相等的实数根.
　　　　　 　　　 证法二： 若ac>0，
　　　　　 　　　　　　　　∵ 抛物线y=ax²-bx+kc与x轴有交点，
　　　　　 　　　　　　　　∴ Δ₁=(-b)²-4akc=b²-4akc≥0.
　　　　　 　　　　　　　　(b²-4ac)-(b²-4akc)=4ac(k-1).
　　　　　 　由证法一知k-1＞0，
　　　　　 　∴ b²-4ac＞b²-4akc≥0.
　　　　　 　∴ Δ=b²-4ac＞0. 此时方程②有两个不相等的实数根.
　　　　　 　综上，方程②有两个不相等的实数根.
　　【说明】用函数的观点来看待方程的解，可以借助于图象的直观性挖掘题目中隐含的条件，使问题解决起来更加简洁，这种数形结合的思想要不断的体会和加以应用.

　　8、一列火车从车站开出，预计行程450千米，当他开出3小时后，因抢救一位病危旅客而多停了一站，耽误了30分钟，为了不影响其他旅客的行程，后来把车速提高了0.2倍，结果准时到达目的地，求这列火车原来的速度？
　　【分析】行程问题中涉及到的主要关系是路程=速度×时间.我们可以从时间上找相等关系，也可以从速度上找相等关系.
　　解法一：设这列火车原来的速度为每小时x千米，依题意，得
　　　　　　－=
　　　　　　12x=900
　　　　　　x=75
　　　　　　经检验x=75是原方程的解
　　答：设这列火车原来的速度为每小时75千米.
　　解法二：设这列火车预定时间为x小时，依题意，得
　　　　　　
　　　　　　解得x=6
　　　　　　经检验x=6是原方程的解
　　　　　　当x=6时，.
　　答：设这列火车原来的速度为每小时75千米.
　　【说明】列方程或方程组解应用题，关键是找出相等关系.