一、相似三角形的判定
1．如图，△ABC中，点D在AC上，CD=2AD，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，连结AE. 已给的图形中存在哪几对相似三角形？请选择一对进行证明.
解：图中相似三角形有△ADE∽△AEC或△BCD∽△ACB两对
证明：(1)△ADE∽△AEC
CE⊥BD于E
∠BDC=60°，
CD=2AD，
∠BDC=60°，
△ADE∽△AEC证明：(2)
∽
提示：在证明△BCD∽△ACB时
证出①
②
③
④△BCD∽△ACB
【点评】判定相似三角形的时候，计算角度是一个常用方法.两个三角形中两个角对应相等，则这两个三角形相似.本题每个角度都能计算自然相似的判定并不麻烦.
2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC，∠ABC=2∠BAC，弦BE交AC于点
D，连接AE，若
，点C坐标是(a，0)，点F坐标是(0，b)．(1)请你写出圆心O的坐标(____，____)；
(用含a，b的代数式表示)
(2)求线段BD的长.
解：(1)(
)(2)
，
，
，
，
，
，
，
∽
，
，
，
，点
坐标是(
，0)，设
的长为
∽
即
解之得：
的长为
.【点评】本题看到比例式和圆中同弧所对的圆周角相等，可以判定相似三角形.
二、相似三角形中的分类讨论
3．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，将另外一个含 30°角的△EDF的30°角的顶点D 放在AB边上，E、F分别在AC、BC上，当点D在AB 边上移动时，DE始终与AB垂直.
(1)设AD=x ，CF=y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数自变量的取值范围；
(2)如果△CEF与△DEF相似，求AD的长.
解：(1)∵∠EDF=30°，ED⊥AB于D，
∴∠FDB=∠B=60°.∴△BDF是等边三角形.
∵BC=1， ∴AB=2.
∴2-x=1-y.
∴y=x-1.
自变量的取值范围是：
.(2)①如图，∠FED=90°，△CEF∽△DEF，
∴
， 即
解得，
.∴
. 
.②如图，∠EFD=90°，△CEF∽△FED，
∴
， 即
.解得，
.∴
.∴
.4．如图所示，抛物线
的顶点为A，其中
．(1)已知直线
：
，将直线
沿轴向 (填“左”或“右”)平移 个单位(用含
的代数式)后过点A；
(2)设直线
平移后与
轴的交点为B，若动点Q在抛物线对称轴上，问在对称轴左侧的抛物线上是否存在点P，使以P、Q、A为顶点的三角形与△
的值，并写出所有符合上述条件的P点坐标；若不存在，说明理由．
解：(1)右；
(2)由题意点A(
，0)，将其代入
，得
∴此时直线
的解析式：
， 点B(0，-
)以P、Q、A为顶点的三角形与△OAB相似，且相似比为2，共有以下四种情况，
①
， 当
时可得
∴
，代入抛物线解析式得：
解得
②
，当
时可得
∴
，代入抛物线解析式得：
解得
③
，当
时可得
过
作
于
，则
∴
，代入抛物线解析式得：
解得
④
，当
时可得
过
作于，则
∴
，代入抛物线解析式得：
解得
综上，符合条件的点共有四个：
【点评】在没有指明对应顶点的前提下，分类讨论也是相似三角形所需要注意的问题.
