一、知识讲解：
1、平方根与算术平方根
| 平方根 | 算术平方根 | |
| 定义 | 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根。即若x2=a，则x叫做a的平方根，例如： ∵(±2)2=4， ∴4的平方根为±2。 |
如果一个正数的平方等于a，那么这个正数叫做a的算术平方根。即若对于x>0，有x2=a，则x叫做a的算术平方根，例如：∵22=4， ∴4的算术平方根为2。 |
| 规定 | 0的平方根为0 | 0的算术平方根为0 |
| 性质 | 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根为0，负数没有平方根。 | 正数与0均只有一个算术平方根，负数没有算术平方根。 |
| 表示(a>0) |  |
 |
| 运算 | 开平方运算 | |
| 区别 与 联系 |
1.区别：（1）定义不同；（2）结果不同： 和 2.联系：（1）包含关系；（2）被开方数非负；（3）0的平方根和算术平方根均为0． 算术平方根指的是平方根中非负的那一个。 | |
2、剖析定义：
（1）被开方数a既可以是数，也可以是代数式。
a若是数，必须为非负数； a若是代数式，则这个代数式必须是非负数。否则
无意义。（2）式子
有双重非负性。①被开方数a是非负数，即a≥0，（这里使
有意义的条件）②
本身非负，即≥0，（这是算术平方根的意义要求的）（3）我们还会遇到形如
（a≥0）的式子，它表示b与的乘积，如
，但注意：
不应写为
。3、性质探究：
、
与
之间的关系：（1）当
时，
．（2）对于任意数
，
．如
．（3）
与的异同：（1）意义不同；（2）被开方数取值不同；（3）结果不同．二、例题讲解：
1．求下列各式的值，并说出意义．（1）
； （2）
； （3）
； （4）
．解：（1）
；（2）
；（3）
（4）
．小结：（1）要熟记：
的结果；（2）掌握被开方数的小数点的移动规律．
（3）关注“平方根”与“算术平方根”的区别；
（4）关注“
”与“
”的区别；2．求下列各式中的
．（1）
； （2）
； （3）
．解：
解：
解：
或
3．为何值时，下列各式有意义：（1）
； （2）
； （3）
； （4）
．分析：要使
有意义，只需．解：（1）据题意，得：
（2）据题意，得：
化简得：
（3）据题意，得：
解得
（4）据题意，得：
解得
4．填空：（1）
的算术平方根是_________（2）
的算术平方根是_________（3）
的算术平方根是_________（4）
的平方根是_________解：（1）2； （2）
； （3）π； （4）
；小结：（1）题目条件本身可化简的一般要先化简， 如找
的算术平方根，即找4的算术平方根。（2）有些题目不须化简条件，如
，
。常是被开方数本身就是一个数的平方。
5．已知：
，求、
的值．解：据题意，得
解得
6．小刚同学的房间地板面积为16平方米，恰好由64块正方形的地转铺成，求每块地转的边长是多少？ 解：设每块边长为
米，则
，
（舍负）．答：每块地转的边长是
米。7．当x满足什么条件时，
成立？解：∵
有意义∴1－2x≥0
∴
当
时，则左=1－2x，右=|2x－1|=1－2x∴当
时，成立。8．估计两个算术平方根的大小：
与 11．【方法一】用计算器求：
，∴
．【方法二】
，而
，∴．结论 ：一般地，两个非负数a，b，
（1）若
，则
；（2）若
，则
；（3）若
，则
．9．（1）探究 ：怎样用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形？
讨论 ：
①面积为2的大正方形的边长是多少？
设大正方形的边长为
，则 
．由算术平方根的定义知：
．∴大正方形的边长是
．②小正方形的对角线的长是多少？
小正方形的对角线的长是
，正好是大正方形的边长．③ 具体拼法见下图：
（2）估算一下
有多大？ 
， 
∴
．又
， 
，∴
．又
， 
，∴
．又
， 
，∴
．……
如此下去，可以得到更精确的
的近似值．
…它是一个无限不循环小数，许多正有理数的算术平方根，如：
，
，
…都是无限不循环小数．三、平方根的相关运算练习：
1．填空：
（1）
___________，
＝___________；（2）
___________，
＝___________；性质：（1）
（
）；（2）
（
）．答案：（1）2×3＝6 ，
， 6 ；（2） ， 
2．试将根号内的平方数移到根号外：
（1）
= = =___________ （2）
___________=___________=___________；（3）
___________=___________=___________（4）
___________=___________=___________；（5）
___________=___________=___________；（6）
___________=___________= ；（7）
________；
________；
________；
________；
________；答案：（1）
= 
=
= 
（2）
=
=
；（3）
=
=
； （4）
=
=
；（5）
=
=
； （6）=
=
；（7）
；
；
；
；
；3．试将根号外的数移到根号内：
（1）
___________= ； （2）
___________=___________；（3）
___________=___________； （4）
___________=___________；（5）
___________=___________；答案：（1）
= 
； （2）
=
；（3）
=
； （4）
=
；（5）
=
；4．试做下面的计算：
（1）
；（2）
；（3）
；（4）
．解：（1）原式＝
（2）原式＝
（3）原式＝
（4）原式＝
