代数数论是把整数的概念推广到代数整数的一个分支。数学家把整数概念推广到一般代数数域上去，相应地也建立了素整数、可除性等概念。

    几何数论是由德国数学家、物理学家闵可夫斯基等人开创和奠基的。几何数论研究的基本对象是“空间格网”。什么是空间格网呢？在给定的直角坐标系上，坐标全是整数的点，叫做整点；全部整点构成的组就叫做空间格网。空间格网对几何学和结晶学有着重大的意义。由于几何数论涉及的问题比较复杂，必须具有相当的数学基础才能深入研究。

    数论是一门高度抽象的数学学科，长期以来，它的发展处于纯理论的研究状态，它对数学理论的发展起到了积极的作用。但对于大多数人来讲并不清楚它的实际意义。

    由于近代计算机科学和应用数学的发展，数论得到了广泛的应用。比如在计算方法、代数编码、组合论等方面都广泛使用了初等数论范围内的许多研究成果；又文献报道，现在有些国家应用“孙子定理”来进行测距，用原根和指数来计算离散傅立叶变换等。此外，数论的许多比较深刻的研究成果也在近似分析、差集合、快速变换等方面得到了应用。特别是现在由于计算机的发展，用离散量的计算去逼近连续量而达到所要求的精度已成为可能。

    数论在数学中的地位是独特的，高斯曾经说过“数学是科学的皇后，数论是数学中的皇冠”。因此，数学家都喜欢把数论中一些悬而未决的疑难问题，叫做“皇冠上的明珠”，以鼓励人们去“摘取”。下面简要列出几颗“明珠”：费尔马大定理、孪生素数问题、歌德巴赫猜想、圆内整点问题、完全数问题……

    在我国近代，数论也是发展最早的数学分支之一。从二十世纪三十年代开始，在解析数论、刁藩都方程、一致分布等方面都有过重要的贡献，出现了华罗庚、闵嗣鹤、柯召等第一流的数论专家。其中华罗庚教授在三角和估值、堆砌素数论方面的研究是享有盛名的。1949年以后，数论的研究的得到了更大的发展。特别是在“筛法”和“歌德巴赫猜想”方面的研究，已取得世界领先的优秀成绩。

    特别是陈景润在1966年证明“歌德巴赫猜想”的“一个大偶数可以表示为一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和”以后，在国际数学引起了强烈的反响，盛赞陈景润的论文是解析数学的名作，是筛法的光辉顶点。至今，这仍是“歌德巴赫猜想”的最好结果。

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